Vinkler og retninger

Radianer, Grader og Gon


I matematikken er det vanlig å gå rundt sirkelen slik som man løper på idrettsbanen, dvs man svinger mot venstre. Men landmålingsinstrumentene våre er vanligvis bygget med en sirkel med grader som går samme vei som urviseren.


Omregning fra radianer til grader

Grader og Gon:

Trigonometri

Sinussetningen

kan brukes på trekanter uten rette vinkler. Man må kjenne minst tre av sidene eller vinklene i trekanten. Øv på å vurdere hvilke sider eller avstander som må være kjente for at du skal kunne beregne trekanten med sinussetningen

Cosinussetningen

brukes også på trekanter uten rette vinkler. Her også kan du øve teoretisk på å forstå når cosinussetningen må brukes, når sinussetningen ikke strekker til. Vi bruker selvsagt sinussetningen i vårt første forsøk siden den er mye enklere enne cosinussetningen.

Arealer

av trekanter kan regnes ut på forskjellige måter. Det enkleste er å bruke sinus- og cosinussetningen som hjelpemetoder når man regner areal.

Formelen for areal er slik: areal = grunnlinje*høyde/2

Denne formelen gjelder for alle slags trekanter. De to øverste figurene til høyre illustrer dette. Arealet er det samme når grunnlinjen og høyden er lik i de to grønne trekantene.

I den nederste trekanten viser jeg litt av ideen om en metode som man kan følge når man regner ut areal av en trekant uten rette vinkler. Her har jeg delt trekanten med en rød strek som er vinkelrett på en av sidene. Hvis du har tre kjente, enten vinkler eller sidelengder i hver av de små "nye trekantene" på hver side av den røde streken, da kan du regne dem som rettvinklede og da er det mulig å regne arealet. (Man må alltid vite minst en sidelengde i trekanten. Det holder ikke med bare vinkler, for da kan man ikke vite noe om størrelsen på trekanten)

Jeg forventer at dere forstår og selv kan gjøre denne utledningen som viser hvordan man kan beregne arealet i en trekant:


Her har jeg repetert litt om arealberegning for trekanter (en uke senere).

Eksempel på beregning i regneark vist under forelesningen. De gule cellene er de gitte tallene. (Det må alltid være gitt tre størrelser i en trekant. Minst en sidelengde må være gitt). Alle de andre tallene i dette regnearket er beregnet med formler. F.eks. er formelen i cellen for alfa i radianer: 
  =C2*pi()/200

Eksempel med beregning i Matlab. Her har jeg vist litt av hvordan jeg skriver slike beregninger i Matlab. Hele beregningshistorien står i kolonnen til høyre. Legg særlig merke til hvordan jeg oppgir vinklene slik at de straks blir til radianer inni programmet.

Noen ganger må man beregne en vinkel når verdien av sin(vinkel) eller cos(vinkel) er gitt eller utregnet. Da kan man bruke funksjonen acos() eller asin() som er de inverse funksjonene til sinus og cosinus.

Historisk

Før kalkulatorens tid gikk det en lang matemetisk historie frem til beregning av trigonometriske funksjoner ved hjelp av rekkeformler:

Utropstegnet i formelen symboliserer det vi kaller 'fakultet' som er slik at man multipliserer alle tall opp.
2! = 1*2
3! = 1*2*3
4! = 1*2*3*4
osv.

Kilder:
http://no.wikipedia.org/wiki/Fakultet_(matematikk)
http://no.wikipedia.org/wiki/Trigonometriske_funksjoner

Plotting av grafer i regneark